基本概念
当曲线与x轴围成的区域在x轴下方时，\(\int y dx\) 会给出负值。面积总是正值，需要取绝对值。
面积 = \(|\int_a^b f(x) dx|\)
计算步骤
1. 画图并标出与x轴的交点
2. 确定需要计算面积的区间
3. 如果跨轴，分段计算积分
4. 取绝对值得到正面积
Example 4 - 基础x轴下方面积
题目：Find the area bounded by \(y = x(x - 3)\) and the x-axis.
解：
交点：x = 0, 3
\(\int_0^3 x(x - 3) dx = \int_0^3 (x^2 - 3x) dx\)
\(= \left[\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = -\frac{9}{2}\)
面积 = \(\frac{9}{2}\)（取绝对值）
跨轴区域处理
重要：跨轴区域必须分段计算，不能直接积分！
总面积 = \(\int_a^c f(x) dx - \int_c^b f(x) dx\)
（其中c是曲线与x轴的交点）
Example 5 - 跨轴区域
题目：Find the area bounded by \(y = x(x - 1)(x + 3)\) and the x-axis.
解：
交点：x = -3, 0, 1
面积 = \(\int_{-3}^0 y dx - \int_0^1 y dx\)
\(\int_{-3}^0 = \frac{45}{4}\)
\(\int_0^1 = -\frac{7}{12}\)
总面积 = \(\frac{45}{4} + \frac{7}{12} = \frac{71}{6}\)
练习题精选
1. \(y = x(x + 2)\) 与x轴围成的面积 = \(\frac{4}{3}\)
2. \(y = (x + 1)(x - 4)\) 与x轴围成的面积 = \(\frac{125}{6}\)
3. \(y = x^2(2 - x)\) 与x轴围成的面积 = \(\frac{4}{3}\)
常见错误
• 忘记取绝对值
• 跨轴区域直接积分
• 不画图导致判断错误
• 分段计算时符号错误
解题技巧
• 总是画图（除非题目已给出）
• 找交点作为积分限
• 跨轴区域分段处理
• 检查答案必须为正数